EBAU Matemáticas Aplicadas — Questions and Answers
Question 1: ¿Cuál es la derivada de f(x) = 3x² + 2x - 5?
- f'(x) = 3x + 2
- f'(x) = 6x + 2 (Correct answer)
- f'(x) = 6x² + 2x
- f'(x) = x² + 2
Correct answer: f'(x) = 6x + 2
Aplicando la regla de derivación: la derivada de ax^n es n·ax^(n-1). Así: d(3x²)/dx = 6x, d(2x)/dx = 2, d(-5)/dx = 0. Por tanto f'(x) = 6x + 2.
Question 2: ¿Cuál es la integral indefinida de f(x) = 2x?
- x² + C (Correct answer)
- 2x² + C
- x + C
- 2 + C
Correct answer: x² + C
La integral de 2x es: ∫2x dx = 2·(x²/2) + C = x² + C. Se puede verificar derivando: d(x²+C)/dx = 2x ✓
Question 3: ¿Qué es una matriz inversa?
- La traspuesta de la matriz
- La matriz A⁻¹ tal que A·A⁻¹ = I (matriz identidad), que solo existe si el determinante es distinto de cero (Correct answer)
- La matriz con todos los signos cambiados
- La matriz con filas y columnas intercambiadas
Correct answer: La matriz A⁻¹ tal que A·A⁻¹ = I (matriz identidad), que solo existe si el determinante es distinto de cero
La inversa A⁻¹ cumple que A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Solo existe si det(A) ≠ 0 (matriz regular). Se puede calcular por Gauss-Jordan o mediante la adjunta: A⁻¹ = adj(A)ᵀ/det(A).
Question 4: ¿Cuál es el límite de (x² - 1)/(x - 1) cuando x tiende a 1?
- 0/0 (indeterminado)
- 2 (Correct answer)
- 1
- No existe
Correct answer: 2
Se factoriza: (x²-1)/(x-1) = (x+1)(x-1)/(x-1) = x+1 (para x≠1). Entonces lim(x→1) (x+1) = 2. La indeterminación 0/0 se resuelve factorizando.
Question 5: ¿Qué es un sistema de ecuaciones compatible determinado?
- Un sistema sin solución
- Un sistema que tiene una única solución (Correct answer)
- Un sistema con infinitas soluciones
- Un sistema con dos soluciones
Correct answer: Un sistema que tiene una única solución
Un sistema compatible determinado tiene exactamente una solución. Según el Teorema de Rouché-Frobenius, esto ocurre cuando rango(A) = rango(A|B) = número de incógnitas.
Question 6: ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(3,6)?
- y = x + 1
- y = 2x (Correct answer)
- y = 3x - 1
- y = x + 3
Correct answer: y = 2x
Pendiente m = (6-2)/(3-1) = 4/2 = 2. Ecuación punto-pendiente: y - 2 = 2(x - 1) → y = 2x - 2 + 2 → y = 2x. Verificación: A(1,2): 2·1=2 ✓, B(3,6): 2·3=6 ✓
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¿Cuál es la derivada de f(x) = 3x² + 2x - 5?